← 2019 Paper 2
UPSC 2019 Maths Optional Paper 2 Q8c — Step-by-Step Solution 20 marks · Section B
Sources, sinks, doublets · Mechanics & Fluid Dynamics · asked 8× in 13 yrs · Read the full method →
Question
Two sources, each of strength m m m ( − a , 0 ) , ( a , 0 ) (-a,0),\ (a,0) ( − a , 0 ) , ( a , 0 ) 2 m 2m 2 m ( x 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( x 2 − y 2 + λ x y ) (x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2+\lambda xy) ( x 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( x 2 − y 2 + λ x y ) λ \lambda λ 2 m a 2 r 1 r 2 r 3 \dfrac{2ma^2}{r_1 r_2 r_3} r 1 r 2 r 3 2 m a 2 r 1 , r 2 r_1,r_2 r 1 , r 2 r 3 r_3 r 3
Technique
Complex potential w = m log ( z 2 − a 2 ) − 2 m log z w=m\log(z^2-a^2)-2m\log z w = m log ( z 2 − a 2 ) − 2 m log z ψ = Im w = \psi=\operatorname{Im}w= ψ = Im w = 1 − a 2 / z 2 1-a^2/z^2 1 − a 2 / z 2 q = ∣ d w / d z ∣ q=|dw/dz| q = ∣ d w / d z ∣ 2 m a 2 2ma^2 2 m a 2
Solution
Setup. Use complex potential w = ϕ + i ψ w=\phi+i\psi w = ϕ + i ψ z = x + i y z=x+iy z = x + i y m m m z 0 z_0 z 0 m log ( z − z 0 ) m\log(z-z_0) m log ( z − z 0 ) 2 m 2m 2 m − 2 m log z -2m\log z − 2 m log z z = ± a z=\pm a z = ± a
w = m log ( z − a ) + m log ( z + a ) − 2 m log z = m log ( z − a ) ( z + a ) z 2 = m log z 2 − a 2 z 2 . w=m\log(z-a)+m\log(z+a)-2m\log z=m\log\frac{(z-a)(z+a)}{z^2}=m\log\frac{z^2-a^2}{z^2}. w = m log ( z − a ) + m log ( z + a ) − 2 m log z = m log z 2 ( z − a ) ( z + a ) = m log z 2 z 2 − a 2 . Step 1 — Stream function
w = m log z 2 − a 2 z 2 = m log ( 1 − a 2 z 2 ) , ψ = Im w = m arg ( 1 − a 2 z 2 ) . w=m\log\frac{z^2-a^2}{z^2}=m\log\Big(1-\frac{a^2}{z^2}\Big),\qquad \psi=\operatorname{Im}w=m\,\arg\Big(1-\frac{a^2}{z^2}\Big). w = m log z 2 z 2 − a 2 = m log ( 1 − z 2 a 2 ) , ψ = Im w = m arg ( 1 − z 2 a 2 ) . Streamlines are ψ = const \psi=\text{const} ψ = const arg ( 1 − a 2 z 2 ) = \arg\!\big(1-\frac{a^2}{z^2}\big)= arg ( 1 − z 2 a 2 ) = z 2 = ( x + i y ) 2 = ( x 2 − y 2 ) + 2 i x y z^2=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+2ixy z 2 = ( x + i y ) 2 = ( x 2 − y 2 ) + 2 i x y ∣ z 2 ∣ 2 = ( x 2 + y 2 ) 2 |z^2|^2=(x^2+y^2)^2 ∣ z 2 ∣ 2 = ( x 2 + y 2 ) 2
1 − a 2 z 2 = 1 − a 2 z ˉ 2 ∣ z ∣ 4 = 1 − a 2 [ ( x 2 − y 2 ) − 2 i x y ] ( x 2 + y 2 ) 2 . 1-\frac{a^2}{z^2}=1-\frac{a^2\bar z^2}{|z|^4}=1-\frac{a^2\big[(x^2-y^2)-2ixy\big]}{(x^2+y^2)^2}. 1 − z 2 a 2 = 1 − ∣ z ∣ 4 a 2 z ˉ 2 = 1 − ( x 2 + y 2 ) 2 a 2 [ ( x 2 − y 2 ) − 2 i x y ] . Re = 1 − a 2 ( x 2 − y 2 ) ( x 2 + y 2 ) 2 , Im = 2 a 2 x y ( x 2 + y 2 ) 2 . \operatorname{Re}=1-\frac{a^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2},\qquad \operatorname{Im}=\frac{2a^2xy}{(x^2+y^2)^2}. Re = 1 − ( x 2 + y 2 ) 2 a 2 ( x 2 − y 2 ) , Im = ( x 2 + y 2 ) 2 2 a 2 x y . Constant argument means Im Re = tan ( ψ / m ) = \dfrac{\operatorname{Im}}{\operatorname{Re}}=\tan(\psi/m)= Re Im = tan ( ψ / m ) = ≡ c \equiv c ≡ c
2 a 2 x y ( x 2 + y 2 ) 2 − a 2 ( x 2 − y 2 ) = c . \frac{2a^2xy}{(x^2+y^2)^2-a^2(x^2-y^2)}=c. ( x 2 + y 2 ) 2 − a 2 ( x 2 − y 2 ) 2 a 2 x y = c . Step 2 — Streamline equation
Cross-multiply:
2 a 2 x y = c [ ( x 2 + y 2 ) 2 − a 2 ( x 2 − y 2 ) ] ⟹ ( x 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( x 2 − y 2 ) + 2 a 2 c x y . 2a^2xy=c\Big[(x^2+y^2)^2-a^2(x^2-y^2)\Big]\ \Longrightarrow\ (x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)+\frac{2a^2}{c}xy. 2 a 2 x y = c [ ( x 2 + y 2 ) 2 − a 2 ( x 2 − y 2 ) ] ⟹ ( x 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( x 2 − y 2 ) + c 2 a 2 x y . Writing λ = 2 c \lambda=\dfrac{2}{c} λ = c 2
( x 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( x 2 − y 2 + λ x y ) , λ a variable parameter . \boxed{\;(x^2+y^2)^2=a^2\big(x^2-y^2+\lambda xy\big),\qquad \lambda\ \text{a variable parameter}.\;} ( x 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( x 2 − y 2 + λ x y ) , λ a variable parameter . Step 3 — Fluid speed
The complex velocity is d w d z = u − i v \dfrac{dw}{dz}=u-iv d z d w = u − i v q = ∣ d w d z ∣ q=\Big|\dfrac{dw}{dz}\Big| q = d z d w
d w d z = m z − a + m z + a − 2 m z . \frac{dw}{dz}=\frac{m}{z-a}+\frac{m}{z+a}-\frac{2m}{z}. d z d w = z − a m + z + a m − z 2 m . Combine over the common denominator z ( z − a ) ( z + a ) = z ( z 2 − a 2 ) z(z-a)(z+a)=z(z^2-a^2) z ( z − a ) ( z + a ) = z ( z 2 − a 2 )
d w d z = m z ( z + a ) + m z ( z − a ) − 2 m ( z 2 − a 2 ) z ( z 2 − a 2 ) = 2 m z 2 − 2 m z 2 + 2 m a 2 z ( z 2 − a 2 ) = 2 m a 2 z ( z − a ) ( z + a ) . \frac{dw}{dz}=\frac{m\,z(z+a)+m\,z(z-a)-2m(z^2-a^2)}{z(z^2-a^2)}=\frac{2mz^2-2mz^2+2ma^2}{z(z^2-a^2)}=\frac{2ma^2}{z(z-a)(z+a)}. d z d w = z ( z 2 − a 2 ) m z ( z + a ) + m z ( z − a ) − 2 m ( z 2 − a 2 ) = z ( z 2 − a 2 ) 2 m z 2 − 2 m z 2 + 2 m a 2 = z ( z − a ) ( z + a ) 2 m a 2 . Taking moduli, with r 1 = ∣ z − a ∣ r_1=|z-a| r 1 = ∣ z − a ∣ r 2 = ∣ z + a ∣ r_2=|z+a| r 2 = ∣ z + a ∣ ± a \pm a ± a r 3 = ∣ z ∣ r_3=|z| r 3 = ∣ z ∣
q = ∣ d w d z ∣ = 2 m a 2 ∣ z ∣ ∣ z − a ∣ ∣ z + a ∣ = 2 m a 2 r 3 r 1 r 2 . q=\Big|\frac{dw}{dz}\Big|=\frac{2ma^2}{|z|\,|z-a|\,|z+a|}=\frac{2ma^2}{r_3\,r_1\,r_2}. q = d z d w = ∣ z ∣ ∣ z − a ∣ ∣ z + a ∣ 2 m a 2 = r 3 r 1 r 2 2 m a 2 . Answer
q = 2 m a 2 r 1 r 2 r 3 . \boxed{\;q=\dfrac{2ma^2}{r_1 r_2 r_3}.\;} q = r 1 r 2 r 3 2 m a 2 .