← 2020 Paper 1
UPSC 2020 Maths Optional Paper 1 Q5b — Step-by-Step Solution 10 marks · Section B
Orthogonal trajectories (cartesian and polar) · ODEs · asked 7× in 13 yrs · Read the full method →
Question
Find the orthogonal trajectories of the family of circles passing through the points ( 0 , 2 ) (0,2) ( 0 , 2 ) ( 0 , − 2 ) (0,-2) ( 0 , − 2 )
Technique
Form DE of family by eliminating parameter; replace y ′ → − 1 / y ′ y'\to-1/y' y ′ → − 1/ y ′ x 2 x^2 x 2 u = x 2 u=x^2 u = x 2
Solution
Step 1 — Equation of the family
A circle through ( 0 , 2 ) (0,2) ( 0 , 2 ) ( 0 , − 2 ) (0,-2) ( 0 , − 2 ) x x x
x 2 + y 2 + 2 g x + 2 f y + c = 0. x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 . x 2 + y 2 + 2 g x + 2 f y + c = 0. Passing through ( 0 , 2 ) (0,2) ( 0 , 2 ) 4 + 4 f + c = 0 4+4f+c=0 4 + 4 f + c = 0 ( 0 , − 2 ) (0,-2) ( 0 , − 2 ) 4 − 4 f + c = 0 4-4f+c=0 4 − 4 f + c = 0 f = 0 f=0 f = 0 c = − 4 c=-4 c = − 4
x 2 + y 2 + 2 λ x − 4 = 0 , λ = g arbitrary . x^2+y^2+2\lambda x-4=0,\qquad \lambda=g \text{ arbitrary}. x 2 + y 2 + 2 λ x − 4 = 0 , λ = g arbitrary . Step 2 — Differential equation of the family (eliminate λ \lambda λ
Differentiate w.r.t. x x x
2 x + 2 y y ′ + 2 λ = 0 ⇒ λ = − ( x + y y ′ ) . 2x+2y y' + 2\lambda = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = -(x+y y'). 2 x + 2 y y ′ + 2 λ = 0 ⇒ λ = − ( x + y y ′ ) . Substitute into the family equation:
x 2 + y 2 + 2 x [ − ( x + y y ′ ) ] − 4 = 0 x^2+y^2+2x\big[-(x+yy')\big]-4=0 x 2 + y 2 + 2 x [ − ( x + y y ′ ) ] − 4 = 0 ⇒ x 2 + y 2 − 2 x 2 − 2 x y y ′ − 4 = 0 \Rightarrow\; x^2+y^2-2x^2-2xy y'-4=0 ⇒ x 2 + y 2 − 2 x 2 − 2 x y y ′ − 4 = 0 ⇒ y 2 − x 2 − 2 x y y ′ − 4 = 0. \Rightarrow\; y^2-x^2-2xy\,y'-4=0 . ⇒ y 2 − x 2 − 2 x y y ′ − 4 = 0. So the DE of the given family is
2 x y y ′ = y 2 − x 2 − 4 , y ′ = y 2 − x 2 − 4 2 x y . 2xy\,y' = y^2-x^2-4,\qquad y'=\frac{y^2-x^2-4}{2xy}. 2 x y y ′ = y 2 − x 2 − 4 , y ′ = 2 x y y 2 − x 2 − 4 . Step 3 — Orthogonal trajectories: replace y ′ → − 1 / y ′ y'\to -1/y' y ′ → − 1/ y ′
− 1 y ′ = y 2 − x 2 − 4 2 x y ⇒ y ′ = d y d x = − 2 x y y 2 − x 2 − 4 = 2 x y x 2 − y 2 + 4 . -\frac{1}{y'}=\frac{y^2-x^2-4}{2xy}
\quad\Rightarrow\quad
y'=\frac{dy}{dx}=\frac{-2xy}{\,y^2-x^2-4\,}=\frac{2xy}{x^2-y^2+4}. − y ′ 1 = 2 x y y 2 − x 2 − 4 ⇒ y ′ = d x d y = y 2 − x 2 − 4 − 2 x y = x 2 − y 2 + 4 2 x y . Step 4 — Solve the orthogonal DE
Rewrite:
( x 2 − y 2 + 4 ) d y = 2 x y d x ⇒ 2 x y d x − ( x 2 − y 2 + 4 ) d y = 0. (x^2-y^2+4)\,dy = 2xy\,dx \;\Rightarrow\; 2xy\,dx-(x^2-y^2+4)\,dy=0 . ( x 2 − y 2 + 4 ) d y = 2 x y d x ⇒ 2 x y d x − ( x 2 − y 2 + 4 ) d y = 0. Treat y y y x 2 x^2 x 2 u = x 2 u=x^2 u = x 2 d u d y = 2 x d x d y \dfrac{du}{dy}=2x\dfrac{dx}{dy} d y d u = 2 x d y d x d x d y = x 2 − y 2 + 4 2 x y \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{x^2-y^2+4}{2xy} d y d x = 2 x y x 2 − y 2 + 4
d u d y = 2 x ⋅ x 2 − y 2 + 4 2 x y = u − y 2 + 4 y = u y − y + 4 y . \frac{du}{dy}=2x\cdot\frac{x^2-y^2+4}{2xy}=\frac{u-y^2+4}{y}
=\frac{u}{y}-y+\frac{4}{y}. d y d u = 2 x ⋅ 2 x y x 2 − y 2 + 4 = y u − y 2 + 4 = y u − y + y 4 . So
d u d y − 1 y u = − y + 4 y . \frac{du}{dy}-\frac{1}{y}u = -y+\frac{4}{y}. d y d u − y 1 u = − y + y 4 . Integrating factor: e − ∫ d y / y = 1 / y e^{-\int dy/y}=1/y e − ∫ d y / y = 1/ y
d d y ( u y ) = 1 y ( − y + 4 y ) = − 1 + 4 y 2 . \frac{d}{dy}\!\left(\frac{u}{y}\right)= \frac{1}{y}\!\left(-y+\frac{4}{y}\right)=-1+\frac{4}{y^2}. d y d ( y u ) = y 1 ( − y + y 4 ) = − 1 + y 2 4 . Integrate:
u y = − y − 4 y + 2 k ( 2 k = const ) , \frac{u}{y}=-y-\frac{4}{y}+2k \quad(2k=\text{const}), y u = − y − y 4 + 2 k ( 2 k = const ) , u = x 2 = − y 2 − 4 + 2 k y . u=x^2=-y^2-4+2ky . u = x 2 = − y 2 − 4 + 2 k y . Hence
x 2 + y 2 − 2 k y + 4 = 0. x^2+y^2-2ky+4=0 . x 2 + y 2 − 2 k y + 4 = 0. Step 5 — State the orthogonal family
x 2 + y 2 − 2 k y + 4 = 0 ( k arbitrary ) , \boxed{\,x^2+y^2-2ky+4=0\,}\qquad(k\text{ arbitrary}), x 2 + y 2 − 2 k y + 4 = 0 ( k arbitrary ) , a family of coaxial circles with centres on the y y y ( 0 , k ) (0,k) ( 0 , k ) k 2 − 4 \sqrt{k^2-4} k 2 − 4 ∣ k ∣ > 2 |k|>2 ∣ k ∣ > 2 x x x ( 0 , ± 2 ) (0,\pm2) ( 0 , ± 2 ) y y y
Verification
Given family: x 2 + y 2 + 2 λ x − 4 = 0 ⇒ x^2+y^2+2\lambda x-4=0\Rightarrow x 2 + y 2 + 2 λ x − 4 = 0 ⇒ m 1 = y 2 − x 2 − 4 2 x y m_1=\dfrac{y^2-x^2-4}{2xy} m 1 = 2 x y y 2 − x 2 − 4 x 2 + y 2 − 2 k y + 4 = 0 x^2+y^2-2ky+4=0 x 2 + y 2 − 2 k y + 4 = 0 2 x + 2 y y ′ − 2 k y ′ = 0 ⇒ y ′ = x k − y 2x+2yy'-2ky'=0\Rightarrow y'=\dfrac{x}{k-y} 2 x + 2 y y ′ − 2 k y ′ = 0 ⇒ y ′ = k − y x 2 k y = x 2 + y 2 + 4 ⇒ k = x 2 + y 2 + 4 2 y 2ky=x^2+y^2+4\Rightarrow k=\dfrac{x^2+y^2+4}{2y} 2 k y = x 2 + y 2 + 4 ⇒ k = 2 y x 2 + y 2 + 4
k − y = x 2 + y 2 + 4 − 2 y 2 2 y = x 2 − y 2 + 4 2 y , m 2 = y ′ = x ( x 2 − y 2 + 4 ) / ( 2 y ) = 2 x y x 2 − y 2 + 4 . k-y=\frac{x^2+y^2+4-2y^2}{2y}=\frac{x^2-y^2+4}{2y},
\quad m_2=y'=\frac{x}{(x^2-y^2+4)/(2y)}=\frac{2xy}{x^2-y^2+4}. k − y = 2 y x 2 + y 2 + 4 − 2 y 2 = 2 y x 2 − y 2 + 4 , m 2 = y ′ = ( x 2 − y 2 + 4 ) / ( 2 y ) x = x 2 − y 2 + 4 2 x y . Product m 1 m 2 = y 2 − x 2 − 4 2 x y ⋅ 2 x y x 2 − y 2 + 4 = − ( x 2 − y 2 + 4 ) x 2 − y 2 + 4 = − 1. m_1 m_2=\dfrac{y^2-x^2-4}{2xy}\cdot\dfrac{2xy}{x^2-y^2+4}=\dfrac{-(x^2-y^2+4)}{x^2-y^2+4}=-1. m 1 m 2 = 2 x y y 2 − x 2 − 4 ⋅ x 2 − y 2 + 4 2 x y = x 2 − y 2 + 4 − ( x 2 − y 2 + 4 ) = − 1.