← 2020 Paper 1
UPSC 2020 Maths Optional Paper 1 Q5c — Step-by-Step Solution 10 marks · Section B
Curl: definition, physical meaning, computation · Vector Analysis · asked 4× in 13 yrs · Read the full method →
Question
For what value of a , b , c a,b,c a , b , c V ⃗ = ( − 4 x − 3 y + a z ) i ^ + ( b x + 3 y + 5 z ) j ^ + ( 4 x + c y + 3 z ) k ^ \vec V=(-4x-3y+az)\hat i+(bx+3y+5z)\hat j+(4x+cy+3z)\hat k V = ( − 4 x − 3 y + a z ) i ^ + ( b x + 3 y + 5 z ) j ^ + ( 4 x + cy + 3 z ) k ^ V ⃗ \vec V V ϕ \phi ϕ ϕ \phi ϕ
Technique
Set c u r l V ⃗ = 0 \mathrm{curl}\,\vec V=0 curl V = 0 a , b , c a,b,c a , b , c P , Q , R P,Q,R P , Q , R ϕ \phi ϕ
Solution
Write V ⃗ = ( P , Q , R ) \vec V=(P,Q,R) V = ( P , Q , R )
P = − 4 x − 3 y + a z , Q = b x + 3 y + 5 z , R = 4 x + c y + 3 z . P=-4x-3y+az,\quad Q=bx+3y+5z,\quad R=4x+cy+3z . P = − 4 x − 3 y + a z , Q = b x + 3 y + 5 z , R = 4 x + cy + 3 z . Step 1 — Irrotational condition ∇ × V ⃗ = 0 ⃗ \nabla\times\vec V=\vec 0 ∇ × V = 0
∇ × V ⃗ = ( R y − Q z , P z − R x , Q x − P y ) . \nabla\times\vec V=\Big(R_y-Q_z,\; P_z-R_x,\; Q_x-P_y\Big). ∇ × V = ( R y − Q z , P z − R x , Q x − P y ) . Compute the partials:
R y = c , Q z = 5 , P z = a , R x = 4 , Q x = b , P y = − 3. R_y=c,\quad Q_z=5,\quad P_z=a,\quad R_x=4,\quad Q_x=b,\quad P_y=-3 . R y = c , Q z = 5 , P z = a , R x = 4 , Q x = b , P y = − 3. Set each component to zero:
R y − Q z = c − 5 = 0 ⇒ c = 5 , R_y-Q_z=c-5=0 \Rightarrow c=5, R y − Q z = c − 5 = 0 ⇒ c = 5 , P z − R x = a − 4 = 0 ⇒ a = 4 , P_z-R_x=a-4=0 \Rightarrow a=4, P z − R x = a − 4 = 0 ⇒ a = 4 , Q x − P y = b − ( − 3 ) = b + 3 = 0 ⇒ b = − 3. Q_x-P_y=b-(-3)=b+3=0 \Rightarrow b=-3 . Q x − P y = b − ( − 3 ) = b + 3 = 0 ⇒ b = − 3. a = 4 , b = − 3 , c = 5 \boxed{\,a=4,\quad b=-3,\quad c=5\,} a = 4 , b = − 3 , c = 5 Step 2 — The field with these values
V ⃗ = ( − 4 x − 3 y + 4 z ) i ^ + ( − 3 x + 3 y + 5 z ) j ^ + ( 4 x + 5 y + 3 z ) k ^ . \vec V=(-4x-3y+4z)\hat i+(-3x+3y+5z)\hat j+(4x+5y+3z)\hat k . V = ( − 4 x − 3 y + 4 z ) i ^ + ( − 3 x + 3 y + 5 z ) j ^ + ( 4 x + 5 y + 3 z ) k ^ . Step 3 — Find ϕ \phi ϕ V ⃗ = ∇ ϕ \vec V=\nabla\phi V = ∇ ϕ
From ϕ x = P = − 4 x − 3 y + 4 z \phi_x=P=-4x-3y+4z ϕ x = P = − 4 x − 3 y + 4 z
ϕ = − 2 x 2 − 3 x y + 4 x z + f ( y , z ) . \phi=-2x^2-3xy+4xz+f(y,z). ϕ = − 2 x 2 − 3 x y + 4 x z + f ( y , z ) . Differentiate w.r.t. y y y Q Q Q
ϕ y = − 3 x + f y ( y , z ) = ! − 3 x + 3 y + 5 z ⇒ f y = 3 y + 5 z ⇒ f = 3 2 y 2 + 5 y z + g ( z ) . \phi_y=-3x+f_y(y,z)\overset{!}{=}-3x+3y+5z
\Rightarrow f_y=3y+5z
\Rightarrow f=\tfrac{3}{2}y^2+5yz+g(z). ϕ y = − 3 x + f y ( y , z ) = ! − 3 x + 3 y + 5 z ⇒ f y = 3 y + 5 z ⇒ f = 2 3 y 2 + 5 y z + g ( z ) . So ϕ = − 2 x 2 − 3 x y + 4 x z + 3 2 y 2 + 5 y z + g ( z ) \phi=-2x^2-3xy+4xz+\tfrac{3}{2}y^2+5yz+g(z) ϕ = − 2 x 2 − 3 x y + 4 x z + 2 3 y 2 + 5 y z + g ( z ) z z z R R R
ϕ z = 4 x + 5 y + g ′ ( z ) = ! 4 x + 5 y + 3 z ⇒ g ′ ( z ) = 3 z ⇒ g = 3 2 z 2 + K . \phi_z=4x+5y+g'(z)\overset{!}{=}4x+5y+3z
\Rightarrow g'(z)=3z\Rightarrow g=\tfrac{3}{2}z^2+K . ϕ z = 4 x + 5 y + g ′ ( z ) = ! 4 x + 5 y + 3 z ⇒ g ′ ( z ) = 3 z ⇒ g = 2 3 z 2 + K . Answer
ϕ = − 2 x 2 + 3 2 y 2 + 3 2 z 2 − 3 x y + 4 x z + 5 y z + K \boxed{\,\phi=-2x^2+\tfrac{3}{2}y^2+\tfrac{3}{2}z^2-3xy+4xz+5yz+K\,} ϕ = − 2 x 2 + 2 3 y 2 + 2 3 z 2 − 3 x y + 4 x z + 5 y z + K